【常见随机变量的期望和方差表】在概率论与数理统计中，随机变量的期望和方差是描述其分布特征的重要指标。期望反映了随机变量的平均取值，而方差则衡量了其围绕期望值的波动程度。以下是对一些常见随机变量的期望与方差的总结，并以表格形式进行展示。
一、离散型随机变量
| 随机变量类型 | 概率质量函数（PMF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 0-1分布（伯努利分布） | $ P(X=1) = p, \quad P(X=0) = 1-p $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 $ B(n,p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布（成功前失败次数） | $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
| 超几何分布 $ H(N,K,n) $ | $ P(X=k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ \frac{nK}{N} $ | $ \frac{nK(N-K)(N-n)}{N^2(N-1)} $ |
二、连续型随机变量
| 随机变量类型 | 概率密度函数（PDF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \le x \le b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu,\sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
| 伽马分布 $ Gamma(\alpha,\beta) $ | $ f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} $ | $ \frac{\alpha}{\beta} $ | $ \frac{\alpha}{\beta^2} $ |
| 三角分布（在区间 [a,b] 上） | $ f(x) = \frac{2(x - a)}{b - a} $（若峰值在 a）或 $ \frac{2(b - x)}{b - a} $（若峰值在 b） | $ \frac{a + b + c}{3} $（c为峰值点） | $ \frac{(b - a)^2}{24} $（若峰值在中间） |
三、小结
以上表格涵盖了常见的离散与连续型随机变量及其对应的期望与方差。掌握这些基本参数有助于我们在实际问题中对随机现象进行定量分析与建模。在学习过程中，建议结合具体例子加深理解，同时注意不同分布之间的联系与区别，从而提升对概率统计的理解能力。