【齐次线性方程组有非零解的条件】在学习线性代数的过程中，齐次线性方程组是一个重要的内容。齐次线性方程组的形式为：
$$
A\mathbf{x} = \mathbf{0}
$$
其中 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，$ \mathbf{x} $ 是一个 $ n $ 维列向量，$ \mathbf{0} $ 是零向量。
齐次线性方程组总是有解的，因为零向量 $ \mathbf{0} $ 一定是它的解，这被称为平凡解。但我们需要关注的是是否存在非零解，即除了零向量之外的其他解。
一、齐次线性方程组有非零解的条件
齐次线性方程组有非零解的充要条件是：系数矩阵 $ A $ 的秩小于未知数的个数 $ n $，即：
$$
\text{rank}(A) < n
$$
换句话说，如果矩阵 $ A $ 的列向量之间存在线性相关关系，那么该方程组就有非零解。
二、总结与对比
| 条件 | 是否有非零解 | 说明 |
| $ \text{rank}(A) = n $ | 否 | 矩阵 $ A $ 的列向量线性无关，只有零解 |
| $ \text{rank}(A) < n $ | 是 | 矩阵 $ A $ 的列向量线性相关，存在非零解 |
三、实例分析
例1：
设方程组为：
$$
\begin{cases}
x + y = 0 \\
2x + 2y = 0
\end{cases}
$$
对应的矩阵为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
2 & 2
\end{bmatrix}
$$
其秩为 1，小于未知数个数 2，因此该方程组有非零解。例如 $ x = 1, y = -1 $ 是一个解。
例2：
设方程组为：
$$
\begin{cases}
x + y = 0 \\
x - y = 0
\end{cases}
$$
对应的矩阵为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}
$$
其秩为 2，等于未知数个数 2，因此只有零解。
四、结论
齐次线性方程组是否有非零解，关键在于系数矩阵的秩是否小于未知数的个数。这一条件不仅在理论上有重要意义，在实际应用中也常用于判断系统的自由度和解的结构。
通过理解这一条件，可以更深入地掌握线性方程组的性质，为后续的学习打下坚实基础。