【三角函数求导公式考研】在考研数学中，三角函数的求导是基础但非常重要的内容之一。掌握常见的三角函数求导公式，有助于快速解决涉及导数的问题，尤其是在微分、积分以及极限计算中有着广泛的应用。本文将对常见的三角函数求导公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、常见三角函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数表达式 | 说明 |
| $ \frac{d}{dx} \sin x $ | $ \cos x $ | 正弦函数的导数是余弦函数 |
| $ \frac{d}{dx} \cos x $ | $ -\sin x $ | 余弦函数的导数是负的正弦函数 |
| $ \frac{d}{dx} \tan x $ | $ \sec^2 x $ | 正切函数的导数是正割平方 |
| $ \frac{d}{dx} \cot x $ | $ -\csc^2 x $ | 余切函数的导数是负的余割平方 |
| $ \frac{d}{dx} \sec x $ | $ \sec x \tan x $ | 正割函数的导数是正割乘正切 |
| $ \frac{d}{dx} \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ | 余割函数的导数是负的余割乘余切 |
二、导数公式的推导思路（简要）
1. 正弦与余弦：
利用导数定义和极限公式 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $，可以推导出 $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 的导数。
2. 正切与余切：
利用商数法则，将 $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $，再求导可得 $ \sec^2 x $；同理，$ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $，导数为 $ -\csc^2 x $。
3. 正割与余割：
同样使用商数法则，结合已知的正弦和余弦导数，可推出正割和余割的导数。
三、应用举例
- 例1：求 $ y = \sin(2x) $ 的导数。
解：利用链式法则，$ y' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) $。
- 例2：求 $ y = \tan(x^2) $ 的导数。
解：$ y' = \sec^2(x^2) \cdot 2x = 2x \sec^2(x^2) $。
- 例3：求 $ y = \sec(\sqrt{x}) $ 的导数。
解：$ y' = \sec(\sqrt{x}) \tan(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $。
四、注意事项
- 考研中常出现复合函数的求导问题，需熟练掌握链式法则。
- 注意符号变化，如 $ \cos x $ 的导数是 $ -\sin x $，容易混淆。
- 对于反三角函数的导数，虽然不在本篇范围内，但也可适当了解，便于应对更复杂的题目。
通过以上总结，可以看出，掌握基本的三角函数导数公式是应对考研数学的重要基础。建议考生多做相关练习题，加深理解并提高解题速度。