【分部积分怎么算】分部积分法是微积分中一种重要的积分技巧，尤其适用于被积函数为两个函数相乘的情况。它来源于乘积法则的逆运算，常用于处理像 $ \int u \, dv $ 这样的积分形式。掌握分部积分法可以大大提高解题效率，尤其是在处理三角函数、指数函数和多项式函数的组合时。
一、分部积分的基本原理
分部积分公式如下：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中：
- $ u $ 是一个可微函数；
- $ dv $ 是另一个可微函数的微分；
- $ du $ 是 $ u $ 的微分；
- $ v $ 是 $ dv $ 的原函数。
使用这个方法的关键在于如何选择合适的 $ u $ 和 $ dv $，使得计算更简单。
二、分部积分的应用场景
| 场景 | 示例 | 分部积分策略 |
| 多项式 × 指数函数 | $ \int x e^x dx $ | 令 $ u = x $，$ dv = e^x dx $ |
| 多项式 × 三角函数 | $ \int x \sin x dx $ | 令 $ u = x $，$ dv = \sin x dx $ |
| 对数函数 × 多项式 | $ \int \ln x \, dx $ | 令 $ u = \ln x $，$ dv = dx $ |
| 反三角函数 × 多项式 | $ \int \arctan x \, dx $ | 令 $ u = \arctan x $，$ dv = dx $ |
三、分部积分的步骤总结
1. 确定 $ u $ 和 $ dv $：从被积函数中选择一个部分作为 $ u $，另一部分作为 $ dv $。
2. 求 $ du $ 和 $ v $：对 $ u $ 求导得到 $ du $，对 $ dv $ 积分得到 $ v $。
3. 代入公式：将 $ u $、$ v $、$ du $ 代入分部积分公式中。
4. 简化并计算：对新的积分进行化简，可能需要再次使用分部积分或直接积分。
四、常见错误与注意事项
| 错误类型 | 说明 |
| 选错 $ u $ 和 $ dv $ | 如果选择不当，可能导致计算复杂度上升 |
| 忽略积分常数 | 在计算过程中，应记住每个积分都应加上常数 |
| 忘记减号 | 分部积分公式中有“减号”，容易遗漏 |
| 多次分部后未检查是否简化 | 有时需要多次应用分部积分，需注意每一步的合理性 |
五、分部积分实例分析
| 题目 | 解答过程 |
| $ \int x \cos x \, dx $ | 令 $ u = x $，$ dv = \cos x dx $ 则 $ du = dx $，$ v = \sin x $ $ \int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C $ |
| $ \int \ln x \, dx $ | 令 $ u = \ln x $，$ dv = dx $ 则 $ du = \frac{1}{x} dx $，$ v = x $ $ \int \ln x dx = x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C $ |
六、总结
分部积分法是一种非常实用的积分技巧，适用于多种函数的乘积形式。通过合理选择 $ u $ 和 $ dv $，可以有效简化复杂的积分问题。掌握其基本原理和应用场景，并避免常见错误，有助于提升积分运算的准确性和效率。
表格总结：分部积分关键点
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ |
| 选择原则 | 通常让 $ u $ 为易求导的函数，$ dv $ 为易积分的函数 |
| 应用范围 | 多项式 × 指数、三角、对数、反三角函数等 |
| 注意事项 | 确保正确选择 $ u $ 和 $ dv $，注意符号和积分常数 |
如需进一步练习，建议多做典型例题，逐步提高对分部积分法的熟练程度。