【微分函数公式】在数学中，微分是研究函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。微分函数公式是进行微分运算的基础，掌握这些公式有助于更深入地理解函数的性质和行为。
以下是对常见微分函数公式的总结，并以表格形式展示其基本形式与应用说明：
一、基础微分公式
| 函数类型 | 函数表达式 | 导数（微分） | 说明 |
| 常数函数 | $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ | 常数的导数为零 |
| 幂函数 | $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ | $ n $ 为任意实数 |
| 指数函数 | $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ | 特别地，$ e^x $ 的导数仍为 $ e^x $ |
| 对数函数 | $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数的导数 |
| 正弦函数 | $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ | 三角函数的基本导数 |
| 余弦函数 | $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ | 三角函数的基本导数 |
| 正切函数 | $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ | 三角函数的导数 |
二、复合函数的微分法则
对于由多个函数组合而成的复合函数，需使用链式法则进行求导。
链式法则：
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
乘积法则：
若 $ y = u(x) \cdot v(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = u'v + uv'
$$
商数法则：
若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
三、高阶导数与隐函数微分
高阶导数：
对一个函数连续求导多次得到的导数称为高阶导数，如：
- 一阶导数：$ f'(x) $
- 二阶导数：$ f''(x) $
- 三阶导数：$ f'''(x) $ 等
隐函数微分：
当函数无法显式表示时，可利用隐函数求导法，例如：
若 $ F(x, y) = 0 $，则
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
$$
四、总结
微分函数公式是微积分的核心内容之一，涵盖了从简单函数到复杂复合函数的求导方法。熟练掌握这些公式不仅有助于解决实际问题，还能提升对数学规律的理解能力。
通过表格形式的整理，可以更加清晰地掌握各类函数的导数形式及其适用范围。在学习过程中，建议结合实例练习，加深对微分公式的理解和应用能力。