【什么是动态规划】动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种在数学、计算机科学和经济学中广泛应用的算法设计方法。它主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。通过将复杂问题分解为更小的子问题，并存储这些子问题的解以避免重复计算，动态规划能够显著提高算法效率。
动态规划的核心思想
动态规划的核心在于记忆化和递推。它通过保存已经计算过的子问题的解，在后续计算中直接调用这些结果，从而减少计算量，提升运行效率。
动态规划的适用条件
| 条件 | 说明 |
| 最优子结构 | 问题的最优解包含其子问题的最优解 |
| 重叠子问题 | 子问题在递归过程中会被多次重复计算 |
| 状态转移方程 | 可以通过递推关系表达当前状态与前一状态的关系 |
动态规划的分类
| 类型 | 特点 | 示例 |
| 自顶向下（带记忆的递归） | 从大问题出发，逐步分解到小问题 | 斐波那契数列、背包问题 |
| 自底向上（迭代） | 从最小的子问题开始，逐步构建解 | 零钱兑换、最长公共子序列 |
| 状态压缩 | 利用位运算等技术优化空间 | 状态压缩DP在旅行商问题中的应用 |
动态规划的应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 背包问题 | 在有限容量下选择物品使价值最大 |
| 最长递增子序列 | 寻找数组中最长的递增子序列 |
| 最小路径和 | 在二维网格中找到从起点到终点的最小路径和 |
| 编辑距离 | 计算两个字符串之间的最小编辑操作次数 |
| 矩阵链乘法 | 找到矩阵相乘的最优括号顺序 |
动态规划的优缺点
| 优点 | 缺点 |
| 提高算法效率，避免重复计算 | 空间复杂度较高，需要额外存储子问题解 |
| 解决复杂问题的有效方法 | 实现较为复杂，需要正确设计状态转移方程 |
| 适用于多种类型的问题 | 对于某些问题可能不如贪心或回溯高效 |
总结
动态规划是一种强大的算法设计方法，尤其适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题。它通过记忆化和递推的方式，提高了算法的效率。掌握动态规划的关键在于理解问题的结构，并正确设计状态转移方程。在实际应用中，动态规划被广泛用于各种优化问题和组合问题的求解。