【刚体转动惯量垂直轴定理】在经典力学中，刚体的转动惯量是描述物体对旋转运动的惯性大小的重要物理量。对于平面薄板状刚体，有一个重要的定理——刚体转动惯量垂直轴定理，也称为垂直轴定理（Perpendicular Axis Theorem）。该定理为计算某些特定形状物体的转动惯量提供了便捷的方法。
一、定理内容
垂直轴定理指出：对于一个位于x-y平面内的薄板状刚体，其绕z轴（垂直于x-y平面）的转动惯量 $ I_z $ 等于其绕x轴和y轴的转动惯量之和，即：
$$
I_z = I_x + I_y
$$
其中：
- $ I_x $ 是刚体绕x轴的转动惯量；
- $ I_y $ 是刚体绕y轴的转动惯量；
- $ I_z $ 是刚体绕z轴的转动惯量。
二、适用条件
1. 物体必须是薄板状，即厚度远小于其他两个维度；
2. 所有质量都位于同一平面内（通常为x-y平面）；
3. 转轴必须互相垂直，且其中一个轴垂直于物体所在平面。
三、定理的意义
垂直轴定理简化了对某些规则几何形状物体的转动惯量计算。例如，当已知绕x轴和y轴的转动惯量时，可以直接通过加法得到绕z轴的转动惯量，而无需重新进行复杂的积分运算。
四、典型应用举例
| 物体形状 | 绕x轴转动惯量 $ I_x $ | 绕y轴转动惯量 $ I_y $ | 绕z轴转动惯量 $ I_z $ |
| 薄矩形板（边长a, b） | $ \frac{1}{12} m b^2 $ | $ \frac{1}{12} m a^2 $ | $ \frac{1}{12} m (a^2 + b^2) $ |
| 薄圆盘（半径R） | $ \frac{1}{4} m R^2 $ | $ \frac{1}{4} m R^2 $ | $ \frac{1}{2} m R^2 $ |
| 薄正方形板（边长L） | $ \frac{1}{12} m L^2 $ | $ \frac{1}{12} m L^2 $ | $ \frac{1}{6} m L^2 $ |
五、注意事项
- 垂直轴定理仅适用于平面薄板，不适用于三维物体；
- 若物体不是薄板，或质量分布不在同一平面，则不能使用该定理；
- 在实际应用中，需注意坐标系的选择与转轴方向的正确性。
六、总结
垂直轴定理是刚体转动惯量计算中的一个重要工具，尤其适用于平面薄板结构。它通过简单的加法关系，将绕不同轴的转动惯量联系起来，极大地方便了工程和物理问题的求解。掌握这一原理有助于更深入理解刚体旋转运动的特性，并提高计算效率。
表格总结：
| 项目 | 内容 |
| 定理名称 | 刚体转动惯量垂直轴定理 |
| 定理表达式 | $ I_z = I_x + I_y $ |
| 适用条件 | 平面薄板、质量在同一平面、转轴互相垂直 |
| 应用价值 | 简化转动惯量计算，避免复杂积分 |
| 典型例子 | 薄矩形板、薄圆盘、薄正方形板 |
| 注意事项 | 不适用于三维物体，坐标系选择要准确 |