椭圆的周长公式怎么推导（椭圆的周长公式）

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1、 椭圆周长的通用公式

2、 【公式说明】公式中，t为椭圆系数，系数t的值可由r/R的值查表得到；r是椭圆的短半径，r是椭圆的长半径。

3、 简介

4、 a是椭圆的长半轴，e是椭圆的偏心率。

5、 椭圆周长的理论公式是存在的，但不能用初等函数表示。它是一个与偏心率有关的无穷收敛级数。这个公式包括了正圆的周长。从某种意义上说，正圆是一种特殊的椭圆，也就是说，正圆是一种长短轴相等的椭圆。

6、 公式的推导是利用曲线长积分，同时关键步骤是利用牛顿二项式定理将椭圆积分展开成以sin为变量的级数，然后用积分求解，如图。

7、 演绎过程

8、 首先，建立椭圆参数方程：

9、 x=a SIN

10、 y=bcos

11、 根据曲线长度积分方程：

12、 u=y

13、 将椭圆方程代入上述公式：

14、 (1) L=4a

15、 而

16、 得出公式(1)由牛顿二项式定理展开，然后逐项积分。

17、 求解完成(这个公式是a=b带入后的圆周长公式，e=1时L=a)。

18、 由此我们可以得到圆周率的另一个公式：

本文到此结束，希望对大家有所帮助。

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