柯西施瓦茨不等式公式推导（柯西施瓦茨不等式）

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1、施瓦茨不等式一、高数中的施瓦茨不等式 证明：令，则从而有，即对的二次三项式讲。

2、，从而有所以 二、线代中的施瓦茨不等式[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]证明：构造方程(x1z-y1)^2+(x2z-y2)^2+...+(xnz-yn)^2>=0 (x1^2+x2^2+...xn^2)z^2+2*z (x1y1+x2y2+...xnyn) +(y1^2+y2^2+...+yn^2)>=0上面的不等式左边是关于z的一元二次方程那么它的根判别式Δ<=0Δ=4(x1y1+x2y2+...xnyn)^2-4(x1^2+x2^2+...xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)<=0得证[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]三、概率论中的施瓦茨不等式证明：由于对任何随机变量，方差非负。

3、所以对任意实数t,D(Y-tX)=E{[(Y-tX)-E(Y-tX)]²} =E{[(Y-E(Y))-t(X-E(X)] ²} =E{(Y-E(Y))²-2t[(X-E(X)(Y-E(Y))]+t²(X-E(X))²} =t²E(X-E(X))² -2tE[(X-E(X)(Y-E(Y))]²+E(Y-E(Y))² =t²D(X)-2tCov(X,Y)+D(Y)>=0不等式左边是关于t 的二次多项式，对任意实数t，它非负的充分必要条件是判别式<=0。

4、即4[Cov(X,Y)]²-4D(X)D(Y)<=0,得证：[Cov(X,Y)]²<=D(X)D(Y)。

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