问arcsin 的导数怎么求 反三角求导推导详解

arcsin 也就是反正弦函数，它的导数公式是 y 等于 arcsinx，导数 y 撇等于 1 除以根号下 1 减 x 平方，这个公式的适用区间是 x 在负 1 到正 1 开区间里面，推导依靠反函数求导法则，结合隐函数求导的思路完成，arcsin 是正弦主值区间的反函数，利用原函数导数和反函数导数互为倒数这个核心原理，再搭配同角三角函数平方关系化简，就能得到最终导数表达式，做题的时候如果遇到复合结构，例如 arcsin 里面套多项式或者三角函数，就需要叠加链式求导法则，在外层套用 arcsin 的导数公式之后，再乘以内层函数的导数，这是微积分里面非常高频的考点，在不定积分定积分微分方程章节都会反复用到这个公式，理解推导过程而不是死记硬背，遇到变形题型也可以独立完成 arcsin 的导数怎么求的运算。

基础原理说明

反函数求导法则，若原函数单调可导，原函数导数不等于零，那么它的反函数导数等于原函数导数的倒数

原函数 y 等于 sinx，主值区间负二分之 π 到正二分之 π，导数是 cosx

反函数记作 y 等于 arcsinx，定义域负 1 到正 1，值域负二分之 π 到正二分之 π

在主值区间内 cosx 大于零，这个条件保证开根号之后取正号，不会出现正负歧义

完整推导步骤

第一步 设 y 等于 arcsinx，根据反正弦定义，可以写成 siny 等于 x，y 属于负二分之 π 到正二分之 π

第二步 等式两边同时对 x 求导，左边使用隐函数求导，得到 cosy 乘以 y 撇等于 1

第三步 整理式子，y 撇等于 1 除以 cosy

第四步 使用同角平方关系，cosy 等于根号下 1 减 sin 平方 y，因为 y 在主值区间，cosy 取正值

第五步 代入 siny 等于 x，cosy 等于根号下 1 减 x 平方

第六步 最终得到 y 撇等于 1 除以根号下 1 减 x 平方

复合函数链式求导规则

如果表达式是 y 等于 arcsin u，其中 u 是关于 x 的函数

那么 arcsin 的导数怎么求，就使用链式法则，y 撇等于 1 除以根号下 1 减 u 平方 再乘以 u 撇

u 撇代表内层函数 u 对 x 的导数，这个是复合题型核心用法

举个例子 y 等于 arcsin (2x)，u 等于 2x，u 撇等于 2，导数就是 2 除以根号下 1 减 4x 平方

常用对照表格

表格

深度拓展要点

在定义域端点 x 等于正负 1 的时候，导数表达式分母为零，导数不存在，属于无穷导数，所以公式只在开区间负 1 到正 1 内部有效，这个细节考试经常作为易错点，arcsin 的导数始终是正数，说明 arcsinx 在定义域内单调递增，导数符号和函数单调性保持一致，这个性质可以用来校验求导结果是否正确，后续积分章节，这个公式反过来就是积分公式，也就是 1 除以根号下 1 减 x 平方的不定积分等于 arcsinx 加常数 C，正反两个方向需要配套记忆。

【相关 FAQ】

问题 1 arcsin 的导数怎么求 推导的时候根号为什么取正号

回答 1 arcsin 的导数怎么求的推导里，y 属于反正弦主值区间负二分之 π 到正二分之 π，这个区间 cosy 大于零，所以 cosy 开根号直接取正号，不用考虑负根。

问题 2 arcsin 的导数怎么求 复合函数 arcsin (x 加 1)

回答 2 arcsin 的导数怎么求 复合题型使用链式法则，内层 u 等于 x 加 1，u 撇等于 1，最终导数等于 1 除以根号下 1 减 (x 加 1) 平方。

问题 3 arcsin 的导数怎么求 在 x 等于 1 位置导数存在吗

回答 3 arcsin 的导数怎么求的时候，x 等于 1 是定义域端点，分母根号下 1 减 x 平方等于零，导数不存在，公式仅适用于开区间内部。

问题 4 arcsin 的导数怎么求 和 arccos 导数有什么关联

回答 4 arcsin 的导数怎么求得到的结果是 1 除以根号下 1 减 x 平方，arccos 导数是负的 1 除以根号下 1 减 x 平方，两个导数数值绝对值相等，符号相反。

【免责申明】

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