分层抽样确定样本容量时，先计算总样本容量，再按各层人数、层内变异和调查安排分到每一层。若项目目标是估计总体均值、总体比例或总体总量，总样本容量可由置信水平、目标精度、历史标准差、历史比例、总体规模共同推出。若只采用比例分配，可用各层人数占总体人数的比重进行分配。若各层内部差异程度不同，可使用内曼分配，让差异更大的层承担更多样本。若各层调查成本不同，可在精度和预算之间做平衡，形成成本优化分配。实际工作中建议先把分层资料整理成表格，逐层核对人数、历史资料、成本、有效回答率，再一次性算出总样本容量与各层样本容量，并对结果向上取整。
核心方法
1. 先定总样本容量，再分层分配
分层抽样确定样本容量，通常分两步：
- 第一步：确定总体需要抽取多少样本，记作 n。
- 第二步：把 n 分配到每一层，记作 n_h。
常用总样本容量思路：
| 目标类型 | 需要的信息 | 常用思路 |
|---|---|---|
| 估计总体均值 | 置信水平、目标精度、层内标准差、总体规模 | 先用历史数据或试测数据估算基础样本量，再按分层方式调整 |
| 估计总体比例 | 置信水平、目标精度、历史比例、总体规模 | 用 p(1-p) 估算基础样本量，再按分层方式调整 |
| 估计总体总量 | 置信水平、目标精度、层内标准差、各层规模 | 先保证均值估计达到目标精度，再换算到总量估计 |
| 仅做描述性统计 | 每层人数、每层最小可分析样本量 | 用每层最低样本量反推总样本容量 |
2. 常见计算公式
比例分配
比例分配是分层抽样确定样本容量中最直观的方法。
公式：
n_h = n × N_h / N
说明：
- n_h：第 h 层的样本容量。
- n：总样本容量。
- N_h：第 h 层总体人数。
- N：总体总人数。
适用场景：
| 情况 | 是否适合 |
|---|---|
| 各层内部差异程度接近 | 适合 |
| 各层调查成本接近 | 适合 |
| 希望样本结构与总体结构一致 | 适合 |
示例：
| 层 | 层人数 N_h | 占比 | 总样本 n=200 | 分层样本 n_h |
|---|---|---|---|---|
| 甲层 | 1000 | 50% | 200 | 100 |
| 乙层 | 600 | 30% | 200 | 60 |
| 丙层 | 400 | 20% | 200 | 40 |
3. 内曼分配
内曼分配常用于各层层内差异程度不一致的分层抽样确定样本容量场景。
公式：
n_h = n × N_h × S_h / Σ(N_h × S_h)
说明：
- S_h：第 h 层的历史标准差或试测标准差。
- Σ(N_h × S_h)：所有层人数与标准差乘积之和。
适用场景：
| 情况 | 是否适合 |
|---|---|
| 各层层内差异程度差异明显 | 适合 |
| 希望同等成本下获得更高估计精度 | 适合 |
| 已有历史调查数据 | 适合 |
示例：
| 层 | N_h | S_h | N_h×S_h | 权重 | n=200 时 n_h |
|---|---|---|---|---|---|
| 甲层 | 1000 | 20 | 20000 | 0.50 | 100 |
| 乙层 | 600 | 30 | 18000 | 0.45 | 90 |
| 丙层 | 400 | 10 | 4000 | 0.10 | 20 |
计算步骤
步骤一：明确统计目标
先确定要估计什么。
| 目标 | 分层抽样确定样本容量时的关注点 |
|---|---|
| 估计总体均值 | 置信水平、目标精度、历史标准差 |
| 估计总体比例 | 置信水平、目标精度、历史比例 |
| 估计总体总量 | 总体规模、均值估计精度 |
| 比较不同层差异 | 每层至少满足可比较样本量 |
步骤二：整理分层资料
需要准备一张基础表。
| 字段 | 内容 |
|---|---|
| 层名 | 城市、部门、年级、年龄组等 |
| N_h | 第 h 层总体人数 |
| S_h | 第 h 层历史标准差 |
| p_h | 第 h 层历史比例 |
| c_h | 第 h 层单位调查成本 |
| r_h | 第 h 层有效回答率 |
| n_min,h | 第 h 层最低可分析样本量 |
步骤三：估算总样本容量
常用均值目标思路：
n0 = (z² × S²) / d²
有限总体修正：
n = n0 / (1 + (n0 - 1) / N)
常用比例目标思路：
n0 = z² × p(1-p) / d²
有限总体修正：
n = n0 / (1 + (n0 - 1) / N)
说明：
- z：置信水平对应的临界值。
- S：总体标准差或代表性历史标准差。
- p：历史比例。
- d：目标精度对应的数值。
- N：总体总人数。
95% 置信水平常取 z=1.96。
| 置信水平 | 常用 z 值 |
|---|---|
| 90% | 1.64 |
| 95% | 1.96 |
| 99% | 2.58 |
步骤四：按分配方式拆分样本
根据资料选择分配方式。
| 分配方式 | 需要的数据 | 特点 |
|---|---|---|
| 比例分配 | N_h | 直观，样本结构与总体结构一致 |
| 内曼分配 | N_h、S_h | 差异大的层承担更多样本 |
| 成本优化分配 | N_h、S_h、c_h | 在精度和预算之间平衡 |
| 最低样本量约束 | n_min,h | 保证每层可做基本分析 |
步骤五：根据有效回答率扩充样本
若某层历史有效回答率为 r_h，可调整：
n_h 最终 = 向上取整(n_h / r_h)
示例：
| 层 | 计划样本 n_h | 有效回答率 | 最终抽取样本 |
|---|---|---|---|
| 甲层 | 100 | 80% | 125 |
| 乙层 | 90 | 75% | 120 |
| 丙层 | 20 | 50% | 40 |
分配方式选择
表格：不同分配方式适用情况
| 场景 | 推荐方法 | 原因 |
|---|---|---|
| 各层内部差异接近 | 比例分配 | 计算简单，结构一致 |
| 各层内部差异明显 | 内曼分配 | 让差异大的层获得更多样本 |
| 每层成本不同 | 成本优化分配 | 在预算范围内提升整体精度 |
| 小层需要单独分析 | 最低样本量约束 | 保证小层结果可用于比较 |
| 缺少历史资料 | 先试测再定容量 | 用试测数据支持分层抽样确定样本容量 |
实操清单
按这个清单走，分层抽样确定样本容量会更稳。
| 项目 | 核对内容 |
|---|---|
| 目标 | 估计均值、比例、总量还是层间比较 |
| 置信水平 | 90%、95%、99% |
| 精度 | 明确可接受的目标精度数值 |
| 层划分 | 层间差异明显，层内特征接近 |
| 历史资料 | 标准差、比例、成本、回答率 |
| 总样本 | 用公式或试测结果确定 |
| 分层样本 | 用比例、内曼、成本优化等方法分配 |
| 取整 | 每层向上取整 |
| 补充样本 | 按有效回答率调整 |
| 最终表 | 形成可执行样本分配表 |
示例：完整计算流程
假设总体 N=2000，分三层，95% 置信水平，目标精度 d=0.3，历史标准差 S=2。
基础样本量：
n0 = (1.96² × 2²) / 0.3² = 170.7，向上取整 171。
有限总体修正：
n = 171 / (1 + (171 - 1) / 2000) = 157.7，向上取整 158。
若采用比例分配：
| 层 | N_h | N_h/N | n_h |
|---|---|---|---|
| 甲层 | 1000 | 50% | 79 |
| 乙层 | 600 | 30% | 48 |
| 丙层 | 400 | 20% | 31 |
若采用内曼分配：
| 层 | N_h | S_h | N_h×S_h | n_h |
|---|---|---|---|---|
| 甲层 | 1000 | 20 | 20000 | 79 |
| 乙层 | 600 | 30 | 18000 | 71 |
| 丙层 | 400 | 10 | 4000 | 16 |
最终结果要写成可执行分配表，方便后续实施分层抽样确定样本容量。
【常见问题】
问题1：分层抽样确定样本容量时，总样本容量先算还是各层样本先算？
回答1：分层抽样确定样本容量通常先算总样本容量，再分配到各层。先确定总容量可以统一控制置信水平和目标精度，再按比例分配、内曼分配或成本优化分配形成分层抽样确定样本容量结果。
问题2：分层抽样确定样本容量需要考虑哪些数据？
回答2：分层抽样确定样本容量需要各层人数、层内标准差、历史比例、置信水平、目标精度、调查成本、有效回答率。把这些数据整理成表格后，分层抽样确定样本容量会更稳定。
问题3：比例分配和内曼分配在分层抽样确定样本容量中怎么选择？
回答3：各层内部差异接近时，分层抽样确定样本容量可用比例分配；各层内部差异明显时，可用内曼分配。比例分配保证样本结构与总体结构一致，内曼分配让变异更大的层承担更多样本，服务于分层抽样确定样本容量。
问题4：分层抽样确定样本容量要不要向上取整？
回答4：需要。分层抽样确定样本容量计算出的每层样本通常是数值，实际抽取要按整数安排，所以分层抽样确定样本容量最后要对各层样本量向上取整，并按有效回答率做必要扩充。
问题5：没有历史数据时，如何确定分层抽样确定样本容量？
回答5：没有历史数据时，可先用小范围试测获取层内标准差、比例、成本、有效回答率，再用于分层抽样确定样本容量。试测数据越贴近实际分层结构，分层抽样确定样本容量越容易贴近目标精度。
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以上内容用于统计方法学习、方案设计和资料整理参考。具体项目实施时，建议结合项目目标、数据来源、抽样设计和专业人员评估确定最终方案。