【向量叉乘公式是什么】在三维几何和线性代数中，向量叉乘（Cross Product）是一个重要的运算，常用于计算两个向量之间的垂直向量。它在物理学、工程学以及计算机图形学等领域有广泛的应用。
一、向量叉乘的基本概念
向量叉乘是两个向量相乘后得到一个新向量的运算，该新向量与原来的两个向量都垂直。其方向由右手定则确定，大小等于两个向量所形成的平行四边形的面积。
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的叉乘记作 a × b，结果是一个新的向量，表示为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
二、向量叉乘公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||||||
| 向量叉乘定义 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ | 两个向量的叉乘结果为一个新向量 | ||||||
| 叉乘展开式 | $(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$ | 按照行列式展开后的具体形式 | ||||||
| 叉乘模长 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$ | 表示两个向量夹角的正弦值与模长的乘积 | |
| 垂直性 | $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = 0$ 且 $\mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = 0$ | 结果向量与原向量垂直 |
三、叉乘的性质
- 反交换律：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$
- 分配律：$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$
- 与标量相乘：$(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$
四、应用场景
- 物理：力矩、磁场中的洛伦兹力等。
- 计算机图形学：计算法线向量、判断面朝向。
- 工程力学：分析旋转运动和扭矩。
通过以上内容可以看出，向量叉乘不仅是一个数学工具，更是一种描述空间关系的重要手段。掌握其公式和性质，有助于更好地理解和应用相关领域的知识。