【微积分常用公式有哪些】在学习和应用微积分的过程中，掌握一些常用的公式是非常重要的。这些公式不仅帮助我们进行计算，还能加深对微积分概念的理解。以下是一些微积分中常见的基本公式，涵盖导数、积分、微分方程等方面的内容。
一、导数常用公式
| 函数 | 导数 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
二、积分常用公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ x^n $ (n ≠ -1) | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ \frac{1}{1+x^2} $ | $ \arctan x + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ |
三、基本积分技巧
| 方法 | 说明 |
| 换元法 | 用于替换复杂函数中的变量，简化积分过程 |
| 分部积分 | 适用于乘积形式的函数，如 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ |
| 有理函数分解 | 将分式拆分为多个简单分式的和，便于积分 |
| 三角代换 | 在含有根号或平方项时使用，如 $ x = a \sin \theta $ 等 |
四、微分方程基础公式
| 类型 | 公式示例 |
| 可分离变量方程 | $ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $，解为 $ \int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx $ |
| 一阶线性微分方程 | $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $，通解为 $ y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x)Q(x) dx + C \right) $，其中 $ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} $ |
| 齐次方程 | $ \frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right) $，可令 $ v = \frac{y}{x} $ 化简 |
| 二阶常系数齐次方程 | $ ay'' + by' + cy = 0 $，特征方程为 $ ar^2 + br + c = 0 $，根据判别式求解 |
五、泰勒级数与麦克劳林级数（部分）
| 函数 | 泰勒展开式（或麦克劳林） | ||
| $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | ||
| $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} $，$ | x | < 1 $ |
以上是微积分中一些常用的公式总结，涵盖了导数、积分、微分方程以及级数展开等内容。熟练掌握这些公式，有助于提高数学分析能力，并在实际问题中灵活运用。