【三角函数的公式大全】在数学学习中，三角函数是一个非常重要的内容，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握三角函数的基本公式和变换规律，有助于提高解题效率和理解能力。本文将对常见的三角函数公式进行系统总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本三角函数定义
设一个角α（通常以弧度为单位），其终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
| 函数名称 | 定义式 | 表达式 |
| 正弦 | 对边与斜边之比 | sinα = y |
| 余弦 | 邻边与斜边之比 | cosα = x |
| 正切 | 对边与邻边之比 | tanα = y/x |
| 余切 | 邻边与对边之比 | cotα = x/y |
| 正割 | 斜边与邻边之比 | secα = 1/x |
| 余割 | 斜边与对边之比 | cscα = 1/y |
二、基本恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | sinα = 1/cscα；cosα = 1/secα；tanα = 1/cotα |
| 商数关系 | tanα = sinα / cosα；cotα = cosα / sinα |
| 平方关系 | sin²α + cos²α = 1；1 + tan²α = sec²α；1 + cot²α = csc²α |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变化 | 三角函数值变化 |
| α + 2π | sin(α + 2π) = sinα；cos(α + 2π) = cosα |
| π - α | sin(π - α) = sinα；cos(π - α) = -cosα |
| π + α | sin(π + α) = -sinα；cos(π + α) = -cosα |
| -α | sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα |
| π/2 - α | sin(π/2 - α) = cosα；cos(π/2 - α) = sinα |
| π/2 + α | sin(π/2 + α) = cosα；cos(π/2 + α) = -sinα |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差 | sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ |
| 余弦和差 | cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ |
| 正切和差 | tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角 | sin2α = 2sinα cosα |
| 余弦倍角 | cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α |
| 正切倍角 | tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角 | sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] |
| 余弦半角 | cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] |
| 正切半角 | tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] = (sinα)/(1 + cosα) = (1 - cosα)/sinα |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinα cosβ | [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2 |
| cosα cosβ | [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2 |
| sinα sinβ | [cos(α - β) - cos(α + β)] / 2 |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A + B)/2]cos[(A - B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A + B)/2]sin[(A - B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A + B)/2]cos[(A - B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A + B)/2]sin[(A - B)/2] |
九、反三角函数简介（简要说明）
| 函数名称 | 定义域 | 值域 |
| arcsin | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| arccos | [-1, 1] | [0, π] |
| arctan | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
十、常用特殊角的三角函数值
| 角度（°） | 弧度（rad） | sinα | cosα | tanα |
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | 无意义 |
通过以上总结，可以系统地掌握三角函数的核心公式和应用方法。建议在实际解题过程中多加练习，灵活运用这些公式，提升数学思维能力和解题效率。