【sinz的定义域】在数学中，函数“sinz”通常指的是复数域上的正弦函数。与实数范围内的正弦函数不同，复数正弦函数的定义域是整个复平面，也就是说，它在所有复数点上都有定义。
一、总结
| 项目 | 内容 |
| 函数名称 | sinz（复数正弦函数） |
| 定义域 | 所有复数（即复平面C） |
| 值域 | 所有复数（即复平面C） |
| 是否为解析函数 | 是（在整个复平面上解析） |
| 与实数正弦函数的关系 | 在实数范围内与普通正弦函数一致，但在复数范围内扩展了定义 |
二、详细说明
在实数范围内，正弦函数 sinx 的定义域是全体实数 R，其值域为 [-1, 1]。然而，当我们将这个函数推广到复数域时，即考虑 sinz，其中 z ∈ C（复数），情况就发生了变化。
复数正弦函数的定义如下：
$$
\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}
$$
这个表达式对于所有的复数 z 都是有意义的，因此 sinz 的定义域是整个复平面，即 C。
此外，复数正弦函数是一个整函数（entire function），这意味着它在整个复平面上都是解析的（可导的），没有奇点或不可导点。
虽然 sinz 在实数范围内是周期性的，周期为 $2\pi$，但在复数范围内，它的周期性仍然存在，但其图像会变得更为复杂，呈现出一种螺旋状的结构。
三、与其他函数的对比
| 函数 | 定义域 | 特点 |
| sinx（实数） | R | 周期性，值域为 [-1, 1] |
| sinz（复数） | C | 全域定义，值域为 C，解析函数 |
| cosx（实数） | R | 周期性，值域为 [-1, 1] |
| cosz（复数） | C | 全域定义，值域为 C，解析函数 |
四、结论
综上所述，sinz 的定义域是整个复平面，即所有复数 z ∈ C。这使得复数正弦函数在数学分析、物理和工程中具有广泛的应用，尤其是在处理波动方程、信号处理和量子力学等领域时。