三角函数公式介绍

【三角函数公式介绍】三角函数是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。它主要研究角与边之间的关系，常见的三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan），以及它们的倒数函数：余切（cot）、正割（sec）和余割（sec）。以下是对常见三角函数公式的总结。

一、基本定义

在直角三角形中，设角θ为锐角，则：

函数名称 定义式 正弦 sinθ = 对边 / 斜边 余弦 cosθ = 邻边 / 斜边 正切 tanθ = 对边 / 邻边 余切 cotθ = 邻边 / 对边 正割 secθ = 斜边 / 邻边 余割 cscθ = 斜边 / 对边

二、常用恒等式

三角函数之间有许多相互关系，这些恒等式有助于简化计算和推导。

恒等式名称 公式 倒数关系 sinθ = 1/cscθ, cosθ = 1/secθ, tanθ = 1/cotθ 商数关系 tanθ = sinθ / cosθ 平方关系 sin²θ + cos²θ = 1 余角关系 sin(90° - θ) = cosθ, cos(90° - θ) = sinθ 周期性 sin(θ + 360°) = sinθ, cos(θ + 360°) = cosθ 奇偶性 sin(-θ) = -sinθ, cos(-θ) = cosθ, tan(-θ) = -tanθ

三、诱导公式（角度变换）

用于将任意角转换为标准角（如0°~360°或0~2π）的公式。

角度变换公式 公式 sin(π - θ) sinθ cos(π - θ) -cosθ tan(π - θ) -tanθ sin(π + θ) -sinθ cos(π + θ) -cosθ tan(π + θ) tanθ sin(2π - θ) -sinθ cos(2π - θ) cosθ

四、和差角公式

用于计算两个角的和或差的三角函数值。

公式类型 公式 正弦和差 sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB 余弦和差 cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB 正切和差 tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)

五、倍角公式

用于计算角的两倍或三倍的三角函数值。

公式类型 公式 正弦倍角 sin2θ = 2sinθ cosθ 余弦倍角 cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ 正切倍角 tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)

六、半角公式

用于计算角的一半的三角函数值。

公式类型 公式 正弦半角 sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] 余弦半角 cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] 正切半角 tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]

通过以上各类公式，可以更方便地进行三角函数的计算与应用。掌握这些公式不仅有助于解决数学问题，也能提升对实际问题的理解与分析能力。

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