问用增广矩阵求方程组

【用增广矩阵求方程组】在解线性方程组时，增广矩阵是一种非常实用的工具。它能够将系数矩阵与常数项合并在一起，便于进行行变换，从而逐步简化方程组，最终求得解或判断其是否存在解。

一、什么是增广矩阵？

对于一个线性方程组：

$$

\begin{cases}

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\

a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\

\vdots \\

a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m

\end{cases}

$$

我们可以将其表示为一个增广矩阵，形式如下：

$$

\left[\begin{array}{ccccc}

a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\

a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\

a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m

\end{array}\right

$$

其中，“”用于分隔系数矩阵和常数项部分。

二、使用增广矩阵求解方程组的步骤

1. 写出增广矩阵：将方程组的系数和常数项写成矩阵形式。

2. 进行初等行变换：通过交换行、倍乘行、倍加行等方式，将矩阵化为行阶梯形或简化行阶梯形。

3. 分析结果：根据化简后的矩阵判断方程组是否有解、唯一解还是无穷多解。

4. 写出解：如果存在解，根据化简后的矩阵写出变量的值。

三、示例：用增广矩阵求解方程组

考虑以下方程组：

$$

\begin{cases}

x + y + z = 6 \\

2x - y + z = 3 \\

x + 2y - z = 0

\end{cases}

$$

步骤1：构造增广矩阵

$$

\left[\begin{array}{cccc}

1 & 1 & 1 & 6 \\

2 & -1 & 1 & 3 \\

1 & 2 & -1 & 0

\end{array}\right

$$

步骤2：进行行变换

- 第2行减去2×第1行：

$ R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1 $

得到：

$$

\left[\begin{array}{cccc}

1 & 1 & 1 & 6 \\

0 & -3 & -1 & -9 \\

1 & 2 & -1 & 0

\end{array}\right

$$

- 第3行减去第1行：

$ R_3 \rightarrow R_3 - R_1 $

得到：

$$

\left[\begin{array}{cccc}

1 & 1 & 1 & 6 \\

0 & -3 & -1 & -9 \\

0 & 1 & -2 & -6

\end{array}\right

$$

- 第3行加上 $\frac{1}{3}$×第2行：

$ R_3 \rightarrow R_3 + \frac{1}{3}R_2 $

得到：

$$

\left[\begin{array}{cccc}

1 & 1 & 1 & 6 \\

0 & -3 & -1 & -9 \\

0 & 0 & -\frac{7}{3} & -9

\end{array}\right

$$

步骤3：化简为简化行阶梯形

- 将第2行除以 -3：

$ R_2 \rightarrow \frac{1}{-3}R_2 $

得到：

$$

\left[\begin{array}{cccc}

1 & 1 & 1 & 6 \\

0 & 1 & \frac{1}{3} & 3 \\

0 & 0 & -\frac{7}{3} & -9

\end{array}\right

$$

- 将第3行乘以 $-\frac{3}{7}$：

$ R_3 \rightarrow -\frac{3}{7}R_3 $

得到：

$$

\left[\begin{array}{cccc}

1 & 1 & 1 & 6 \\

0 & 1 & \frac{1}{3} & 3 \\

0 & 0 & 1 & \frac{27}{7}

\end{array}\right

$$

- 消去第2行中的 $z$：

$ R_2 \rightarrow R_2 - \frac{1}{3}R_3 $

得到：

$$

\left[\begin{array}{cccc}

1 & 1 & 1 & 6 \\

0 & 1 & 0 & \frac{12}{7} \\

0 & 0 & 1 & \frac{27}{7}

\end{array}\right

$$

- 消去第1行中的 $y$ 和 $z$：

$ R_1 \rightarrow R_1 - R_2 - R_3 $

得到：

$$

\left[\begin{array}{cccc}

1 & 0 & 0 & \frac{5}{7} \\

0 & 1 & 0 & \frac{12}{7} \\

0 & 0 & 1 & \frac{27}{7}

\end{array}\right

$$

步骤4：写出解

$$

x = \frac{5}{7}, \quad y = \frac{12}{7}, \quad z = \frac{27}{7}

$$

四、总结表格

通过增广矩阵的方法，可以系统地解决线性方程组问题，并清晰地展示每一步的变化过程，有助于理解解的存在性和唯一性。