【三角函数变换公式汇总】在数学学习中，三角函数的变换公式是解决三角问题的重要工具。掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对三角函数性质的理解。本文将对常见的三角函数变换公式进行系统总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本关系式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 与正切和正割的关系 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 与余切和余割的关系 |
二、诱导公式（角度转换）
| 角度变化 | 公式 |
| $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ | 负角公式 |
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | 负角公式 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ | 补角公式 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ | 补角公式 |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ | 补角公式 |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ | 补角公式 |
| $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$ | 周期公式 |
| $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ | 周期公式 |
三、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦和差公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦和差公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 正切和差公式 |
四、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ | 正弦倍角公式 |
| $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ | 余弦倍角公式 |
| $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ | 余弦倍角公式 |
| $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ | 余弦倍角公式 |
| $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 正切倍角公式 |
五、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 正弦半角公式 |
| $\cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 余弦半角公式 |
| $\tan\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$ | 正切半角公式 |
| $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ | 正切半角公式 |
六、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) - \sin(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\sin A \sin B = -\frac{1}{2}[\cos(A + B) - \cos(A - B)]$ | 积化和差 |
七、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
八、其他常用公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^3\theta = \frac{3\sin\theta - \sin 3\theta}{4}$ | 三次方公式 |
| $\cos^3\theta = \frac{3\cos\theta + \cos 3\theta}{4}$ | 三次方公式 |
| $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ | 平方降次公式 |
| $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ | 平方降次公式 |
结语
以上内容是对常见三角函数变换公式的整理与归纳，涵盖了从基础关系到复杂变换的多个方面。熟练掌握这些公式，能够帮助我们在解题过程中更加灵活地处理各种三角问题。建议在学习过程中多做练习，结合实际应用加深理解。